已知函数f=16ln+x2-10x．求函数f的单调区间；若直线y=b与函数y=f的图象有3个交点，求b的取值范围．

题文

已知函数f（x）=16ln（1+x）+x²-10x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞）
f′(x)=161+x+2x-10=2x2-8x+6x+1=2(x-1)(x-3)x+1
令f'（x）=0，得x=1，x=3．f'（x）和f（x）随x的变化情况如下：
x（-1，1）1（1，3）3（3，+∞）f'（x）+0-0+f（x）增极大值减极小值增



f（x）的增区间是（-1，1），（3，+∞）；减区间是（1，3）．
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减．
∴f（x）_极大=f（1）=16ln2-9，f（x）_极小=f（3）=32ln2-21．
又x→-1⁺时，f（x）→-∞；x→+∞时，f（x）→+∞；
可据此画出函数y=f（x）的草图（如图），由图可知，
当直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点时，
当且仅当f（3）＜b＜f（1），
故b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）

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解析

161+x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=16ln（1+x）+x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点