已知函数f=4x3+3tx2-6t2x+t-1，x∈R，其中t∈R．当t=1时，求曲线y=f在点）处的切线方程；当t≠0时

题文

已知函数f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）当t=1时，f（x）=4x³+3x²-6x，f（0）=0
f'（x）=12x²+6x-6，f'（0）=-6，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x．
（II）f'（x）=12x²+6tx-6t²，f'（0）=0，解得x=-t或x=t2
∵t≠0，以下分两种情况讨论：
（1）若t＜0，则t2＜-t，∴f（x）的单调增区间是（-∞，t2），（-t，+∞）；f（x）的单调减区间是（t2，-t）
（2）若t＞0，则t2＞-t，∴f（x）的单调增区间是（-∞，-t），（t2，+∞）；f（x）的单调减区间是（-t，t2）
（III）证明：由（II）可知，当t＞0时，f（x）在（0，t2）内单调递减，在（t2，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当t2≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减．
f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3≤-13＜0
所以对于任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
（2）当0＜t2＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，t2）内单调递减，在（t2，1）内单调递增
若t∈（0，1]，f（t2）=-74t3+t-1≤-74t3＜0，
f（1）=）=-6t²+4t+3≥-2t+3＞0
所以f（x）在（t2，1）内存在零点．
若t∈（1，2），f（t2）=-74t3+t-1＜-74t3+1＜0，
f（0）=t-1＞0∴f（x）在（0，t2）内存在零点．
所以，对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
综上，对于任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

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解析

t2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=4x3+3tx2-6t.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点