设a∈R，讨论关于x的方程x3+3x2-a=0的相异实根的个数？

题文

设a∈R，讨论关于x的方程x³+3x²-a=0的相异实根的个数？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

解∵设函数f（x）=x³+3x²-a，求导函数得f'（x）=3x²+6x



∴f'（x）=0的两根分别为x₁=-2，x₂=0
∵x＜-2或x＞0时，f'（x）＞0；-2＜x＜0时，f'（x）＜0
∴函数f（x）的减区间为（-2，0）；增区间为（-∞，-2）和（0，+∞）
因此，函数f（x）的极大值是f（-2）=4-a，极小值是f（0）=-a
作出函数的草图，如右图所示，可得
（1）当4-a＜0或-a＞0时，即a＜0或a＞4时，函数f（x）的图象与x轴只有一个交点，
可得原方程只有一个根．
（2）当4-a=0或-a=0时，即a=0或a=4时，函数f（x）的图象与x轴有两个交点，即原方程有两个相异实根．
（3）当0＜a＜4时，函数f（x）的图象与x轴有三个交点，原方程有三个相异实根．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设a∈R，讨论关于x的方程x3+3x2-.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点