已知二次函数f=ax2+bx+c）的图象与x轴有两个不同的交点，若f=0，且0＜x＜c时，f＞0证明：1a是f=0的一个

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0））的图象与x轴有两个不同的交点，若f（c）=0，且0＜x＜c时，f（x）＞0
（1）证明：1a是f（x）=0的一个根
（2）试比较1a与c的大小
（3）证明：-2＜b＜-1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）∵f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，f（x）=0的两个根x₁，x₂满足 x1x2=ca，
又f（c）=0，不妨设x₁=c∴x2=1a，即1a是f(x)=0的一个根．
（2）假设 1a＜c，又1a＞0
由0＜x＜c时，f（x）＞0，得 f(1a)＞0，与f(1a)=0矛盾∴1a≥c
∵f（x）=0的两个根不相等
∴1a≠c，只有1a＞c
（3）由（1）（2）知，函数图象与x轴的两个交点为（c，0），（1a，0），
∴对称轴在x=c与x=1a之间，即c＜-b2a＜1a，
即-2ac＞b＞-2，
从而：-2＜b＜-1．

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解析

ca

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点