已知函数f=|x2-1|+x2+kx．若k=2，求函数f的零点；若函数f在区间上有两个不同的零点，求k的取值范围．

题文

已知函数f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在区间（0，2）上有两个不同的零点，求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵k=2，当x≥1或x≤-1时，2 x²+2x-1=0，解方程得x=-1-32．
当-1＜x＜1时，2x+1=0，x=-12，所以函数f（x）的零点为-1-32，-12．（3分）
（2）∵f(x)=kx+1，x∈(0，1]2x2+kx-1，x∈(1，2)，（4分）
①两零点在（0，1]，（1，2）各一个：由于f（0）=1＞0，
∴f(1)＜0f(2)＞0⇒-72＜k＜-1．（6分）
②两零点都在（1，2）上时，显然不符合根与系数的关系 x₁x₂=-12＜0．
综上，k的取值范围是：-72＜k＜-1．（8分）

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解析

-1-32

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=|x2-1|+x2+k.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点