已知f(x)= a-x2-4x(x＜0)f(x-2)(x≥0)，且函数y=f-2x恰有3个不同的零点，则实数a的取

题文

已知f(x)= a-x2-4x(x＜0)f(x-2)(x≥0)，且函数y=f（x）-2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A．[-4，0]B．[-8，+∞）C．[-4，+∞）D．（0，+∞） 题型：未知 难度：其他题型

答案

C

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解析

因为当x≥0的时候，f（x）=f（x-2），
当x∈[0，2）时，x-2∈[-2，0），此时f（x）=f（x-2）=a-（x-2）²-4（x-2）
当x∈[2，4）时，x-4∈[-2，0），此时f（x）=f（x-2）=f（x-4）=a-（x-4）²-4（x-4）
依此类推，f（x）在x＜0时为二次函数a-x²-4x=-（x+2）²+a+4，
在x≥0上为周期为2的函数，重复部分为a-x²-4x=-（x+2）²+a+4在区间[-2，0）上的部分．
二次函数a-x²-4x=-（x+2）²+a+4顶点为（-2，a+4），
y=f（x）-2x恰有3个不同的零点，即f（x）与y=2x恰有3个不同的交点，
需满足f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且0≤a+4≤4或f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且a+4＞4
∴-4≤a≤0或a＞0
综上可得a≥-4
故选C

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)= .....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点