已知向量m=(2cosx，-3sin2x)，n=，设函数f=m•n，x∈R．求函数f的最小正周期和单调递减区间；若方程f

题文

已知向量m=(2cosx，-3sin2x)，n=（cosx，1），设函数f（x）=m•n，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在区间[0，π2]上有实数根，求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵函数f（x）=m•n=2cos²x-3sin2x=cos2x-3sin2x+1=2sin（π6-2x）+1=-2sin（2x-π6）+1，
∴函数的最小正周期为 2π2=π，令 2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈z，解得kπ-π6≤x≤kπ+π3，k∈z，
故函数的减区间为[kπ-π6，kπ+π3]，k∈z．
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在区间[0，π2]上有实数根，则函数y=f（x）的图象和直线y=k 在区间[0，π2]上有交点．
由 0≤x≤π2 可得-π6≤2x-π6≤5π6，∴-12≤sin（2x-π6）≤1，∴-1≤-2sin（2x-π6）+1≤2，
即函数f（x）的值域为[-1，2]，
故-1≤k≤2，即k的取值范围为[-1，2]．

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

m

考点

据考高分专家说，试题“已知向量m=(2cosx，-3sin2x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点