已知f=|x2-1|+x2+kx．若k=2，求方程f=0的解；若关于x的方程f=0在上有两个解x1，x2，求k的取值范

题文

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（I）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（II）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，求k的取值范围，并证明1x1+1x2＜4． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）（1）当k=2时，f（x）=|x²-1|+x²+kx
①当x²-1≥0时，即x≥1或x≤-1时，方程化为2x²+2x-1=0
解得x=-1±32，因为0＜-1+32＜1，故舍去，所以x=-1-32．
②当x²-1＜0时，-1＜x＜1时，方程化为2x+1=0
解得x=-12
由①②得当k=2时，方程f（x）=0的解所以x=-1-32或x=-12．
（II）不妨设0＜x₁＜x₂＜2，
因为f(x)=2x2+kx-1，|x|＞1kx+1，|x|≤1
所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，
若1＜x₁＜x₂＜2，则x₁x₂=-12＜0，故不符题意，因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．
由f（x₁）=0得k=-1x1，所以k≤-1；
由f（x₂）=0得k=1x2-2x2，所以-72＜k＜-1；
故当-72＜k＜-1时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解．
当0＜x₁≤1＜x₂＜2时，k=-1x1，2x₂²+kx₂-1=0
消去k得2x₁x₂²-x₁-x₂=0
即1x1+1x2=2x2，因为x₂＜2，所以1x1+1x2＜4．

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解析

-1±32

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=|x2-1|+x2+kx．.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点