已知函数f=2x2-alnx若a=4，求函数f的极小值；设函数g=-cos2x，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量xi（i=

题文

已知函数f（x）=2x²-alnx
（1）若a=4，求函数f（x）的极小值；
（2）设函数g（x）=-cos2x，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值相等，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得f′(x)=4x-4x=4(x2-1)x，xk
则当0＜x＜1时f'（x）＜0，可得函数f（x）在（0，1）上是减函数，
当x＞1时f′（x）＞0，可得函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
故函数的极小值为f（1）=2；
（2）若存在，设f（x_i）-g（x_i）=m（i=1，2，3），则对于某一实数m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三个不同的实数根，设F（x）=f（x）-g（x）-m=2x²-alnx+cos2x-m，
则F′(x)=4x-ax-2sin2x(x＞0)有两个不同的零点，即关于x的方程4x²-2xsin2x=a（x＞0）有两个不同的解G（x）=4x²-2xsin2x（x＞0），
则G'（x）=8x-2sin2x-4xcos2x=2（2x-sin2x）+4x（1-cos2x），
设h（x）=2x-sin2x，则h′（x）=2-2cos2x≥0，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，
则当x＞0时h（x）＞h（0）=0，即2x＞sin2x，
又1-cos2x＞0，则G′（x）＞0故G（x）在（0，+∞）上是增函数，
则a=4x²-2xsin2x（x＞0）至多只有一个解，故不存．
方法二：关于方程4x-ax-2sin2x=0(x＞0)的解，
当a≤0时，由方法一知2x＞sin2x，此时方程无解；
当a＞0时，由于H′(x)=4+ax2-4cos2x＞0，
可以证明H(x)=4x-ax-2sin2x(x＞0)是增函数，此方程最多有一个解，故不存在．

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解析

4x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x2-alnx（1）.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点