已知二次函数f=x2-ax+a有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn=f．求数列{an}的通项公式；

题文

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一个零点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=an3n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）依题意，△=a²-4a=0⇒a=0或a=4
又由a＞0得a=4，f（x）=x²-4x+4
∴S_n=n²-4n+4
当n=1时，a₁=S₁=1-4+4=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-5∴an=1(n=1)2n-5(n≥2)（6分）
（Ⅱ）∵T_n=13+-132+133+334++2n-53n①
∴13T_n=132+-133+134+335+2n-73n+2n-53n+1②
由①-②得23Tn=13-232+2(133+134++13n)-2n-53n+1
∴Tn=13-n-13n．（12分）

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解析

1(n=1)2n-5(n≥2)

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=x2-ax+a（a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点