设函数f=x2，g=alnx+bx．若f=g，f'=g'，求F=f-g的极小值；在（

题文

设函数f（x）=x²，g（x）=alnx+bx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），求F（x）=f（x）-g（x）的极小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．
（Ⅲ）设G（x）=f（x）+2-g（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁，x₀，x₂成等差数列，试探究G'（x₀）值的符号． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）得b=1a+b=2，解得a=b=1则F（x）=f（x）-g（x）=x²-lnx-x，F′（x）=2x-1x-1
x=1或x=-12，当x＜-12或x＞1时，f′（x）＞0，函数为增函数；当-12＜x＜1时，f′（x）＜0，函数为减函数．
得到F（x）_极小值=F（1）=0；
（2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x²在点（1，1）的切线方程为y=2x-1，
下面验证f(x)≥2x-1g(x)≤2x-1都成立即可．由x²-2x+1≥0，得x²≥2x-1，知f（x）≥2x-1恒成立．设h（x）=lnx+x-（2x-1），即h（x）=lnx-x+1，易知其在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以h（x）=lnx+x-（2x-1）的最大值为h（1）=0，所以lnx+x≤2x-1恒成立．故存在这样的k和m，且k=2，m=-1．
（3）G′（x₀）的符号为正，理由为：因为G（x）=x²+2-alnx-bx有两个零点x₁，x₂，则有x12+2-alnx1-bx1=0x22+2-alnx2-bx2=0，两式相减得x₂²-x₁²-a（lnx₂-lnx₁）-b（x₂-x₁）=0，即x2+x1-b=a(lnx2-lnx1) x2-x1，
于是G′（x₀）=2x₀-ax0-b=（x₁+x₂-b）-2ax1+x2=a(lnx2-lnx1) x2-x1-2ax1+x2=ax2-x1[lnx2x1-2(x2-x1) x1+x2]
=ax2-x1[lnx2x1-2(x2x1-1)1+x2x1]
①当0＜x₁＜x₂时，令x2x1=t，则t＞1，且u′（t）=1t-4(1+t)2=(1-t)2t(1+t)2＞0，则u（t）=lnt-2(t-1)1+t在（1，+∞）上为增函数，
而u（1）=0，所以u（t）＞0，即lnt-2(t-1)1+t＞0，又因为a＞0，x₂-x₁＞0
所以G′（x₀）＞0；
②当0＜x₂＜x₁时，同理可得：G′（x₀）＞0
综上所述：G′（x₀）的符号为正．

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

b=1a+b=2

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x2，g（x）=alnx.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点