已知二次函数f=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的公共点，若f=0，且0＜x＜c时，f＞0．试比较1a与c的大小；

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，若f（c）=0，且0＜x＜c时，f（x）＞0．
（1）试比较1a与c的大小；
（2）求实数b 的取值范围；
（3）当c＞1，t＞0时，求证：at+2+bt+1+ct＞0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）的图象与x轴有两个不同的交点
∴f（x）=0有两个不同的实数根x₁，x₂
∵f（c）=0∴c是方程f（x）=0的一个根，不妨设x₁=c
∵x1x2=ca，∴x2=1a∴1a≠c
假设1a＜c又 1a＞0
由0＜x＜c时，f（x）＞0与f(1a)=0矛盾
∴1a＞c
（2）∵f（c）=0∴ac+b+1=0∴b=-1-ac
由（1）0＜ac＜1，∴-2＜-1-ac＜-1
∴-2＜b＜-1
（3）原不等式化简为(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2ct(t+1)(t+2) ＞0
∵t＞0
∴要证原不等式成立⇔即证g（t）=（a+b+c）t²+（a+2b+3c）t+2c＞0
∵c＞1＞0∴f（1）＞0即a+b+c＞0
又-2＜b＜-1
∴a+2b+3c=（a+b+c）+（b+2c）＞b+2c＞b+2＞0
∴二次函数g（t）的对称轴 t=-a+2b+3c2(a+b+c)＜0
由此可见g（t）在[0，+∞）上是增函数
∴t＞0时，g（t）＞g（0）＞0
∴原不等式成立．

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解析

ca

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点