设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，证明：数列{Sn}不是等比数列．已知f=ax+x-2x+1，证明：方程f（x

题文

（1）设数列{a_n}是公比为q的等比数列，S_n是它的前n项和，证明：数列{S_n}不是等比数列．
（2）已知f（x）=a^x+x-2x+1（a＞1），证明：方程f（x）=0没有负根． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）假设数列{S_n}是等比数列，则S₂²=S₁S₃，
即a₁²（1+q）²=a₁•a₁（1+q+q²），
∵a₁≠0，∴（1+q）²=1+q+q²，即q=0，这与公比q≠0矛盾，
∴数列{S_n}不是等比数列．
（2）假设f（x）=0 有负根 x₀，且 x₀≠-1，
即 f（x₀）=0，则ax0=-x0-2x0+1，
∵a＞1，x₀＜0，∴0＜ax0＜1，
∴0＜-x0-2x0+1＜1，即(x0-2)(x0+1)＜0-x0-2x0+1＜1，
∴(x0-2)(x0+1)＜0(2x0-1)(x0+1)＞0，解得12＜x₀＜2，
这与x₀＜0矛盾，假设不成立，
故方程f（x）=0没有负根．

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解析

x0-2x0+1

考点

据考高分专家说，试题“（1）设数列{an}是公比为q的等比数列.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点