已知函数f=kx，g(x)=tx2-1，k为非零实数．设t=k2，若函数f，g在区间上单调性相同，求k的取值范围；是否

题文

已知函数f（x）=kx，g(x)=tx2-1，k为非零实数．
（Ⅰ）设t=k²，若函数f（x），g（x）在区间（0，+∞）上单调性相同，求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在正实数k，都能找到t∈[1，2]，使得关于x的方程f（x）=g（x）在[1，5]上有且仅有一个实数根，且在[-5，-1]上至多有一个实数根．若存在，请求出所有k的值的集合；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） （1）当k＞0时，因为f（x）=kx在（0，+∞）上单调递增，…（1分）
所以g(x)=tx2-1在（0，+∞）上单调递增．
但在（0，+∞）上g′(x)=-2tx3=-2k2x3＜0，所以不符合已知；…（3分）
（2）因为在（0，+∞）上g′(x)=-2tx3=-2k2x3＜0，所以g(x)=tx2-1在（0，+∞）上单调递减．
所以f（x）=kx在（0，+∞）上单调递减，则k＜0，即 k的取值范围是（-∞，0）．…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）=g（x）⇔kx³+x²-t=0．   …（7分）
设h（x）=kx³+x²-t，所以h′(x)=3kx2+2x=0⇒x=0或-23k．
因为k＞0，所以h（x）在(-∞，-23k)↑，(-23k，0)↓，(0，+∞)↑，
而h（0）=-t＜0，所以h（x）=0在[1，5]上至多一个实数根，在[-5，-1]上至多
有二个实数根．                         …（9分）
（1）由于k＞0，要能找到t∈[1，2]，使得关于x的方程h（x）=0在[1，5]上有且仅有一个实数根，必须存在t∈[1，2]，使得：h(1)≤0h(5)≥0⇔k≤t-1125k≥t-25⇔0＜k≤1；          …（11分）
（2）因为“能找到t∈[1，2]，使得关于x的方程h（x）=0在[-5，-1]上至多有一个实数
根”的反面是“对任意的t∈[1，2]，使得关于x的方程h（x）=0在[-5，-1]上恰有
二个实数根”，即反面⇔对任意的t∈[1，2]，下列不等式组成立．-5≤-23k≤-1h(-5)≤0h(-1)≤0h(-23k)＞0⇔24125≤k＜69．…（13分）
因为k＞0，所以，“能找到t∈[1，2]，使得关于x的方程h（x）=0在[-5，-1]上至
多有一个实数根”⇔0＜k＜24125或69≤k＜+∞．…（14分）
由（1）（2）同时成立得：0＜k＜24125或69≤k≤1．
所以，存在正实数k符合要求，所有k的值的集合为：
{k|0＜k＜24125或69≤k≤1}．    …（15分）
（直接讨论、或讨论函数f（x）=kx，g(x)=tx2-1的图象的关系或变量分离转化
为三次函数讨论，请酌情给分）

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解析

tx2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=kx，g(x)=tx2.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点