关于x的方程exlnx=1的实根个数是______．

题文

关于x的方程e^xlnx=1的实根个数是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵方程e^xlnx=1，
∴令f（x）=e^xlnx-1，
∴f′（x）=e^xlnx+exx=e^x（lnx+1x），
∴令f′（x）=0，可得e^x（lnx+1x）=xlnx+1x=0，
∴xlnx+1=0，
令g（x）=xlnx+1，
∴g′（x）=lnx+1=0，
解得x=1e，
当x＞1e时 g（x）为增函数，
当x＜1e时，g（x）为减函数，
∴g（x）的极小值也是最小值为g（1e）=-1e+1＞0，
∴f（x）为单调增函数，
f（1e）=e1e×（-1）-1＜0，
∴方程e^xlnx=1的实根个数是1个，
故答案为1．

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解析

exx

考点

据考高分专家说，试题“关于x的方程exlnx=1的实根个数是_.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点