定义在R上的函数y=f其周期为4，且满足：①f是偶函数；②是函数y=f的一个对称点；且当0＜x≤1时，f=log3x，则方程f

题文

定义在R上的函数y=f（x）其周期为4，且满足：①f（x）是偶函数；②（1，0）是函数y=f（x）的一个对称点；且当0＜x≤1时，f（x）=log₃x，则方程f（x）+4=0在区间（-2，10）内的所有实根个数为（ ）A．4B．5C．6D．8 题型：未知 难度：其他题型

答案

根据题意，当0＜x≤1时，f（x）=log₃x=-4，可得x=3^-4=181，
因为f（x）是偶函数，所以当-1≤x＜0时，f（x）=log₃（-x）=-4，
可得-x=3-4，x=-181，
∵f（x-1）是奇函数，图象关于点（-1，0）对称，
∴当-2＜x≤-1时的函值域与当-1≤x＜0时函数值域互为相反数，f（x）≥0，方程f（x）=-4没有实根
再根据f（x）是偶函数，图象关于点y轴对称得，当-2＜x≤-1时的函值域与当1≤x＜2时函数值域相同，
f（x）≥0，方程f（x）=-4没有实根，
因此函数在（-2，2）只有两个实数根x=±181，
因为函数的周期为4，因此可得在（2，6）只有两个实数根x=±181+4，
在（6，10）只有两个实数根x=±181+8，
因此可得函数方程f（x）+4=0在区间（-2，10）内的所有实根个数为6个．
故选C．

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解析

181

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数y=f（x）其周期为4，.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点