已知m∈R，函数f=•ex．若函数f没有零点，求实数m的取值范围；当m＞2时，求函数f的极大值．

题文

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）•e^x．
（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
（2）当m＞2时，求函数f（x）的极大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令f（x）=（x²+mx+m）•e^x=0．
∵e^x＞0，∴x²+mx+m=0．
∵函数f（x）没有零点，∴方程x²+mx+m=0无实根．
则△=m²-4m＜0，解得：0＜m＜4．
所以函数f（x）没有零点的实数m的取值范围是（0，4）；
（2）由f（x）=（x²+mx+m）•e^x．
得：f^′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+m）e^x
=（x²+2x+mx+2m）e^x=（x+2）（x+m）e^x．
令f^′（x）=0，得：x=-2或x=-m．
当m＞2时，-m＜-2．
所以，当x∈（-∞，-m）时，f^′（x）＞0，函数f（x）为增函数；
当x∈（-m，-2）时，f^′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f^′（x）＞0，f（x）为增函数；
所以，当x=-m时，f（x）取得极大值，极大值为f（-m）=[（-m）²+m•（-m）+m]e^-m=me^-m．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点