设a＞0，函数f=lnx-ax，g=lnx-2(x-1)x+1证明：当x＞1时，g＞0恒成立；若函数f无零点，求实数a的取值

题文

设a＞0，函数f（x）=lnx-ax，g（x）=lnx-2(x-1)x+1
（1）证明：当x＞1时，g（x）＞0恒成立；
（2）若函数f（x）无零点，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）有两个相异零点x₁、x₂，求证：x₁x₂＞e²． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：g′(x)=1x-4(x+1)2=(x-1)2x(x+1)2，由于已知x＞1，∴g'（x）＞0恒成立∴g（x）在（1，+∞）递增，∴g（x）＞g（1）=0
∴x＞1时，g（x）＞0恒成立．
（2）f（x）=lnx-ax的定义域是（0，+∞），f′（x）=1x-a=1-axx，
由于a＞0，x＞0，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1a，
∴f（x）在(0，1a)上递增，在(1a，+∞)上递减．
∴f(x)≤f(1a)=-lna-1，欲使函数f（x）无零点，则只要-lna-1＜0，即lna＞-1，∴a＞1e．
故所求a的范围是(1e，+∞)．
（3）因为f（x）有两个相异的零点，又由于x＞0，
故不妨令x₁＞x₂＞0，且有lnx₁=ax₁，lnx₂=ax₂ ，∴lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
要证x1x2＞e2⇔ln(x1x2)＞2⇔lnx1+lnx2＞2⇔a＞2x1+x2⇔lnx1-lnx2x1-x2＞2x1+x2⇔lnx1-lnx2＞2(x1-x2)x1+x2⇔lnx1x2＞2(x1x2-1)x1x2+1
令t=x1x2，则t＞1，故只要证明lnt＞2(t-1)t+1，t＞1时恒成立，
而由（1）知t＞1时，lnt-2(t-1)t+1＞0恒成立，即lnt＞2(t-1)t+1恒成立，从而证明x1x2＞e2．
故x₁x₂＞e²．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“设a＞0，函数f（x）=lnx-ax，g.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点