设函数f(x)=x3-92x2+6x-a．对于任意实数x，f′≥m在表示f的导函数），求m的最大值；若方

题文

设函数f(x)=x3-92x2+6x-a．
（1）对于任意实数x，f′（x）≥m在（1，5]恒成立（其中f′（x）表示f（x）的导函数），求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0在R上有且仅有一个实根，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=3x²-9x+6，
f′（x）≥m在（1，5]恒成立，等价于m≤3x²-9x+6在（1，5]恒成立，
由f′（x）=3x²-9x+6=3(x-32)2-34在[1，5]上的最小值为-34，
所以m≤-34，即m的最大值为-34．
（2）f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
当x＜1或x＞2时f′（x）＞0，当1＜x＜2时f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
所以f（x）_极大值=f（1）=52-a，f（x）_极小值=f（2）=2-a，
故当f（1）＜0或f（2）＞0时，方程f（x）=0在R上有且仅有一个实根，解得a＞52或a＜2，
所以所求a的取值范围为：（-∞，2）∪（52，+∞）．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=x3-92x2+6x-a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点