已知函数f=|xex|，方程f2+tf+1=0有四个实数根，则t的取值范围为A．B．

题文

已知函数f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（ ）A．（e2+1e，+∞）B．（-∞，e2+1e）C．（-e2+1e，-2）D．（2，e2+1e） 题型：未知 难度：其他题型

答案

f（x）=|xe^x|=xex  (x≥0)-xex(x＜0)，
当x≥0时，f^′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f^′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f^′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f^′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，0）时，f^′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一个最大值为f（-1）=-（-1）e^-1=1e，
要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
令f（x）=m，则方程m²+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，1e）内，一个根在（ 1e，+∞）内，
再令g（m）=m²+tm+1，因为g（0）=1＞0，
则只需g（ 1e）＜0，即（ 1e）²+1et+1＜0，
解得：t＜-e2+1e．
所以，使得函数f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（-∞，-e2+1e）．
故选B．

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解析

xex  (x≥0)-xex(x＜0)

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=|xex|，方程f2（.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点