已知函数f=2x2x+1，x∈(12，1]-13x+16，x∈[012]，函数g=αsin-2α+2，若存在x1，x2∈[0，1

题文

已知函数f（x）=2x2x+1，x∈(12，1]-13x+16，x∈[012]，函数g（x）=αsin（π6x）-2α+2（α＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数α的取值范围是（ ）A．[12，43]B．（0，12]C．[23，43]D．[12，1] 题型：未知 难度：其他题型

答案

当x∈[0，1]时，f（x）=2x2x+1，x∈(12，1]-13x+16，x∈[012]，值域是[0，1]，
g(x)=asin(π6x)-2a+2(a＞0)值域是 [2-2a，2-3a2]，
∵存在x₁、x₂∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[0，1]∩[2-2a，2-3a2]≠∅，
若 [0，1]∩[2-2a，2-3a2]=∅，则2-2a＞1或2-3a2＜0，即 a＜12或a＞43，
∴a的取值范围是 [12，43]．
故选A

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解析

2x2x+1，x∈(12，1]-13x+16，x∈[012]

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x2x+1，x∈(1.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点