已知函数f(x)=2x，g(x)=12|x|+2求函数g的值域；求函数h=f-g的零点．当x＜0时，解不等式f+

题文

已知函数f(x)=2x，g(x)=12|x|+2
（1）求函数 g（x）的值域；
（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）的零点．
（3）当x＜0时，解不等式f（x）+g（x）＞3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数 g（x）=12|x|+2，而 2^|x|≥1，∴2＜12|x|+2≤3，
故函数 g（x）的值域为（2，3]．
（2）函数h（x）=f（x）-g（x）=2^x-12|x|-2，当x≥0时，h（x）=2^x-12x-2．
令 h（x）=0 可得2^2x-2•2^x-1=0，解得 2^x=1+2，或 2^x=1-2（舍去），故x=log2(1+2)．
当x＜0时，h（x）=-2，故h（x）无零点．
综上，函数h（x）的零点是 x=log2(1+2)．
（3）当x＜0时，0＜2^x＜1，不等式f（x）+g（x）＞3，即 2^x+12-x+2＞3，即 2^2x+2^x-1＞0．
解得 2^x＜-1-52（舍去），或 2^x＞-1+52，
综合可得，1＞2^x＞-1+52，故有0＞x＞log2-1+52，故不等式的解集为{x|0＞x＞log2-1+52}．

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解析

12|x|

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x，g(x)=12|.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点