已知：二次函数f满足f=1和f-f=2x．求f的解析式；若g=f-ax2+1有一个正的零点，求实数a的

题文

已知：二次函数f（x）满足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-ax²+1有一个正的零点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵二次函数f（x）满足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
设f（x）=ax²+bx+c，f（0）=1可得c=1，
a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，
可得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）g（x）=f（x）-ax²+1=（1-a）x²-x+2，
g（x）=0有一个正的零点⇔（1-a）x²-x+2=0有一个正根，
①当1-a=0即a=1，得x=2，符合题意；
②1-a≠0即a≠1时，△=1-8（1-a）=8a-7，
当8a-7=0，即a=78时，方程有等根x=4，符合题意，
当a＞78时，△＞0，只需两根x1x2＜0，即21-a＜0，
∴a＞1，
综上a的取值范围为[1，+∞）∪{78}；

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解析

78

考点

据考高分专家说，试题“已知：二次函数f（x）满足f（0）=1和.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点