若关于x的方程lnx-ax=0只有一个实根，则实数a的范围是______．

题文

若关于x的方程lnx-ax=0只有一个实根，则实数a的范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设f（x）=lnx-ax，定义域为（0，+∞），则f'（x）=1x-a=0，可得x=1a
当a≤0，f'（x）＞0，最多有一个实根，因为x＞0，且x→0时，f（x）＜0，f（1）≥0，所以（0，1]之间必有一个实根
a＞0，0＜x＜1a时，函数单调递增，x＞1a时，函数单调递减，f（1a）=-lna-1为极大值，此极大值若为0的话，则有一个实根，此时a=1e
此极大值若大于0的话，会有两个实根，此极大值若小于0的话，则无实根．
因此a的取值范围为：（-∞，0]∪{1e}
故答案为：（-∞，0]∪{1e}．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“若关于x的方程lnx-ax=0只有一个实.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点