已知函数fx=ln|x|x≠0，函数gx=1f′x+af′xx≠0当x≠0时，求函数y=gx的表达式；若a＞0，且函数y=gx在0，+∞上的最小值是

题文

已知函数fx=ln|x|x≠0，函数gx=1f′x+af′xx≠0
（I）当x≠0时，求函数y=gx的表达式；
（Ⅱ）若a＞0，且函数y=gx在0，+∞上的最小值是2，求a的值；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中所求的a值，若函数h(x)=13x3-b+12ax2+bx，x∈R，恰有三个零点，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵fx=ln|x|，
∴当x＞0时，fx=lnx； 当x＜0时，fx=ln-x
∴当x＞0时，f′x=1x； 当x＜0时，f′x=1-x•-1=1x．
∴当x≠0时，函数y=gx=x+ax；
（Ⅱ）∵由（1）知当x＞0时，gx=x+ax，
∴当a＞0，x＞0时，gx≥2a当且仅当x=a时取等号．
由2a=2，得a=1，
（Ⅲ）h′（x）=x²-（b+1）x+b=（x-1）（x-b）
令h′（x）=0，得x=1或x=b．
（1）若b＞1，则当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当1＜x＜b，时h′（x）＜0，当x＞b时，h′（x）＞0；
（2）若b＜1，且b≠0，则当0＜x＜b时，h′（x）＞0，当b＜x＜1时，h′（x）＜0，当x＞1时，h′（x）＞0．
所以函数h（x）有三个零点的充要条件为f(1)＞0f(b)＜0或f(1)＜0f(b)＞0解得b＜13或b＞3．
综合：b∈(-∞，0)∪(0，13)∪(3，+∞)
另h(x)=13x3-b+12x2+bx=16x[2x2-3(b+1)x+6b]
所以，方程2x²-3（b+1）x+6b=0，有两个不等实根，且不含零根．
由9(b+1)2-48b＞0b≠0，解得：b∈(-∞，0)∪(0，13)∪(3，+∞)．

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解析

x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数fx=ln|x|x≠0，函数gx.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点