已知函数f(x)=|x-a|-a2lnx，a∈R．求函数f的单调区间；若函数f有两个零点x1，x2，，求证：1＜x1＜a＜

题文

已知函数f(x)=|x-a|-a2lnx，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，（x₁＜x₂），求证：1＜x₁＜a＜x₂＜a²． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，函数的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，f(x)=|x-a|-a2lnx=x-a-a2lnx，f′(x)=1-a2x＞0，
函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），…3分
当a＞0时，f(x)=|x-a|-a2lnx=x-a-a2lnx  ，x≥aa-x-a2lnx，  0＜x＜a，…5分
若x≥a，f′(x)=1-a2x=2x-a2x＞0，此时函数f（x）单调递增，
若x＜a，f′(x)=-1-a2x＜0，此时函数f（x）单调递减，
综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）． …7分
（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，
此时函数至多只有一个零点，不合题意；                      …8分
则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），
由题意，必须f(a)=-a2lna＜0，解得a＞1，…10分
由f(1)=a-1-a2ln1=a-1＞0，f（a）＜0，
得x₁∈（1，a），…12分
而f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna），
下面证明：a＞1时，a-1-lna＞0
设g（x）=x-1-lnx，x＞1
则g′(x)=1-1x=x-1x＞0，
所以g（x）在x＞1时递增，则g（x）＞g（1）=0，
所以f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna）＞0，
又f（a）＜0，
所以x₂∈（a，a²），
综上，1＜x₁＜a＜x₂＜a²．                     …16分

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解析

a2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=|x-a|-a2lnx.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点