方程1x-1=2sin(πx)在区间[-2010，2012]所有根之和等于______．

题文

方程1x-1=2sin(πx)在区间[-2010，2012]所有根之和等于______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设 f（x）=1x-1，g（x）=2sinπx，此题是求以上两个函数的交点的横坐标的和的问题．
显然，以上两个函数都关于点（1，0）成中心对称．
函数f（x）的值域为（-∞，0）∪（0，+∞），定义域为{x|x≠1}，
函数g（x） 的值域为[-2，2]，定义域为R，最小正周期为2．
在区间[0，2]上，两个函数无交点，应用介值定理，可以得到第一个交点x₀∈[2，94]．
从x=2开始，在每个周期上，f（x） 和 g（x）都有两个交点，相对应的，在区间[-2010，0]上，
两个函数有和区间[2，2012]上相同多的交点．
在区间[2，2012]上，函数g（x） 共有1005个周期，因此和函数f（x）有2010个交点，
因此在区间[-2010，0]上也有2010个交点，
且对每一个交点，相对于（1，0）中心对称的点也是两个函数的交点．
而每对这样的交点之和为2，即若m是两个函数的一个交点的横坐标，则2-m也是两个函数的一个交点的横坐标，
因为一共有2010对这样的交点．
所以，在区间[-2010，2012]上，两个函数所有交点的横坐标的和为2010×2=4020．

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解析

1x-1

考点

据考高分专家说，试题“方程1x-1=2sin(πx)在区间[-.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点