已知函数f=ln+x3-x2-ax．若x=23为y=f的极值点，求实数a的值；若a=-1时，方程f-3=

题文

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax．（1）若x=23为y=f（x）的极值点，求实数a的值； （2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）³=bx有实根，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=aax+1+3x²-2x-a=x[3ax2+(3-2a)x-(a2+2)]ax+1
∵x=23为f（x）的极值点，∴f′（23）=0
∴3a(23)2+23（3-2a）-（a²+2）=0且23a+1≠0
∴a=0．
又当a=0时，f′（x）=x（3x-2），从而x=23为f（x）的极值点成立．
（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）³=bx
可得lnx-（1-x）²+（1-x）=bx
即b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在x＞0上有解
即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
b=x（lnx+x-x²）       令h（x）=lnx+x-x²
由h′（x）=1x+1-2x=(2x+1)(1-x)x∵x＞0
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数；
当x＞1时，h′（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数．
∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以无穷小．∴b的取值范围为（-∞，0]．

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

aax+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点