若函数f=x3-ax的零点都在区间[-10，10]上，则使得方程f=1000有正整数解的实数a的取值的个数为______．

题文

若函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，又f（x）=x³-ax=x（x²-a）=0，令f（x）=0，∴x=0，或x=±a．
函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，∴a≤10，∴a≤100．
∵f′（x）=3x²-a，令f′（x）=0，解得 x=±a3．
当x＜-a3，或 x＞a3时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数．当-a3＜x＜a3时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数．
故当x=-a3时，函数取得极大值为f（-a3）=2aa33≤200033．
∵200033＜1000，∴f（10）=1000-10a＜1000，结合函数的单调性以及f（x）=x³-ax（a＞0），
知方程f（x）=1000有正整数解在区间[10，+∞）上，此时令x³-ax=1000，可得 x²-a=1000x．
此时有a=x²-1000x，由于x为大于10的整数，由上知 x²-1000x≤100，令x=11，12，13时，不等式成立，
当x=14时，有142-10004=196-71614＞100，故可得a的值有三个，
故答案为 3．

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解析

a

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点