已知二次函数f=ax2+bx+c．若a＞b＞c，且f=0，证明f有两个零点；若x1，x2∈R，x1＜x2，f≠f，

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）有两个零点；
（2）若x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），证明方程f(x)-12[f(x1)+f(x2)]=0在区间（x₁，x₂）内有一个实根． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0，
又∵a＞b＞c，∴3a＞a+b+c＞3c，即a＞0＞c．
∴a＞0，c＜0，即ac＜0，
∴△=b²-4ac≥-4ac＞0，
∴方程ax²+bx+c=0有两个不等实根，∴f（x）有两个零点． 
（2）设g(x)=f(x)-12[f(x1)+f(x2]，
则g(x1)=f(x1)-12[f(x1)+f(x2)]=12[f(x1)-f(x2)]，
g(x2)=f(x2)-12[f(x1)+f(x2)]=12[f(x2)-f(x1)]，
g(x1)•g(x2)=12[f(x1)-f(x2)]•12[f(x2)-f(x1)]=-14[f(x1)-f(x2)]2，
∵f（x₁）≠f（x₂），∴g（x₁）•g（x₂）＜0，
又函数g（x）在区间[x₁，x₂]上的图象是连续不断的一条曲线，由函数零点的判定定理可得：
g（x）=0在（x₁，x₂）内有一个实根．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点