题文
已知函数f(x)=1x+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T（t，f（t）），且f（t）≠0，证明：1＜t＜e；（注：e是自然对数的底）
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记直线ST的倾斜角为α，试证明：π4＜α＜5π12． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由f(x)=1x+clnx，得f′(x)=-1x2+cx．…（1分）∵函数f(x)=1x+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0），
∴f′(s)=-1s2+cs=cs-1s2=0，…①且f（s）=1s+clns=0…．②…（2分）
联立①②得c=e，s=1e．…（3分）
∴f(x)=1x+elnx．…（4分）
（Ⅱ）证明：f′(x)=-1x2+ex．
∵函数f(x)=1x+clnx的图象与直线l相切于点T（t，f（t）），直线l过坐标原点O，
∴直线l的方程为：y=(-1t2+et)x，
又∵T在直线l上，∴实数t必为方程2t+elnt-e=0…．③的解．…（5分）
令g(t)=2t+elnt-e，则g′(t)=-2t2+et=et-2t2，
解g′（t）＞0得t＞2e，g′（t）＜0得0＜t＜2e．
∴函数y=g（t）在(0，2e]递减，在(2e，+∞)递增．…（7分）
∵g(1e)=0，且函数y=g（t）在(0，2e)递减，
∴t=1e是方程2t+elnt-e=0在区间(0，2e]内的唯一一个解，
又∵f(1e)=0，∴t=1e不合题意，即t＞2e．…（8分）
∵g（1）=2-e＜0，g(e)=2e＞0，函数y=g（t）在(2e，+∞)递增，
∴必有1＜t＜e．…（9分）
（Ⅲ）证明：∵T（t，f（t）），S(1e，0)
∴tanα=kST=f(t)-0t-s=1t+elntt-1e，
由③得tanα=1t+elntt-1e=et，…（10分）
∵t＞0，且0≤α＜π，∴0＜α＜π2．
∵1＜t＜e，∴1＜tanα=et＜e，…（11分）
∵tanπ4=1，tan5π12=tan(π6+π4)=tanπ6+tanπ41-tanπ6tanπ4=2+3＞e，…（13分）
∴tanπ4＜tanα＜tan5π12，
∵y=tanx在(0，π2)单调递增，∴π4＜α＜5π12．…（14分）
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解析
1x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=1x+clnx的图象与.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
