已知a∈R，函数f=x2．当a=3时，求f的零点；求函数y=f在区间[1，2]上的最小值．

题文

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的零点；
（Ⅱ）求函数y=f （x）在区间[1，2]上的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意f（x）=x²（x-3），
由f（x）=0，解得x=0，或x=3；
（Ⅱ）设此最小值为m．，f/(x)=3x2-2ax=3x(x-23a)，x∈(1，2)，
（1）当a≤0时，f′（x）＞0，x∈（1，2），
则f（x）是区间[1，2]上的增函数，所以m=f（1）=1-a
（2）当a＞0时，
当x＜0或x＞2a3时，f'（x）＞0，从而f（x）在[23a，+∞）上是增函数；
当0＜x＜2a3时，f'（x）＜0，从而f（x）在区间[0，23a]上是单调减函数
①当23a≥2，即a≥3时，m=f（2）=8-4a
②当1≤23a＜2，即32≤a＜3时，m=f(2a3)=-4a273.
③当0＜a＜32时，m=f（1）=1-a
综上所述，所求函数的最小值m=1-a，(a≤32)-4a327，(32＜a＜3)4(2-a)，(a≥3)

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知a∈R，函数f（x）=x2（x-a）.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点