已知函数f=lnx，g=x2-x．若函数y=f与y=g的图象在公共点P处有相同的切线，求实数m的值和P的坐标

题文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x²-x（m≠-1）．
（I）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数m的值和P的坐标；
（II）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M、N，求实数m的取值范围；
（III）在（II）的条件下，过线段MN的中点作x轴的垂线分别与f（x）的图象和g（x）的图象交于S、T点，以S点为切点
作f（x）的切线l₁，以T为切点作g（x）的切线l₂，是否存在实数m，使得l₁∥l₂？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设函数y=f（x）与y=g（x）图象的公共点为P（x₀，y₀），
则有lnx₀=（m+1）x₀²-x₀①，
又在点P处有共同的切线，
∴f′(x0)=g′(x0)⇒1x0=2(m+1)x0-1⇒m=1+x02x20-1，②
②代入①，得lnx0=12-12x0．
设h(x)=lnx-12+12x⇒h′(x)=1x+12＞0(x＞0)．
所以，函数h（x）最多只有1个零点，
观察得x₀=1是零点，故m=0．
此时，点P（1，0）；
（II）根据（I）知，当m=0时，两条曲线切于点P（1，0），
此时，变化的y=g（x）的图象的对称轴是x=12，
而y=f（x）是固定不变的，如果继续让对称轴向右移动，
即x=12(m+1)＞12，解得-1＜m＜0．两条曲线有两个不同的交点，
当m＜-1时，开口向下，只有一个交点，显然不合题意，
所以，有-1＜m＜0；
（III）假设存在这样的m，不妨设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，
则MN中点的坐标为(x1+x22，y1+y22)．
以S为切线的切线l₁的斜率ks=f′(x1+x22)=2x1+x2，
以T为切点的切线l₂的斜率kT=g′(x1+x22)=(m+1)(x1+x2)-1．
如果存在m，使得k_s=k_T，
即2x1+x2=(m+1)(x1+x2)-1．③
而且有lnx₁=（m+1）x₁²-x₁和lnx₂=（m+1）x₂²-x₂．
如果将③的两边同乘以x₁-x₂，得
④2(x1-x2)x1+x2=(m+1)(x21-x22)-(x1-x2)，
即2(x1-x2)x1+x2=[(m+1)x21-x1]-[(m+1)x22-x2]=lnx1-lnx2=lnx1x2，
也就是lnx1x2=2(x1x2-1)x1x2+1．
设μ=x1x2＞1，则有lnμ=2(μ-1)1+μ(μ＞1)．
令h(μ)=lnμ-2(μ-1)1+μ（μ＞1），则h′(μ)=1μ-4(1+μ)2=(μ-1)2μ(1+μ)2．
∵μ＞1，∴h'（μ）＞0．
因此，h（μ）在[1，+∞]上单调递增，故h（μ）＞h（1）=0．
∴lnμ＞2(μ-1)1+μ(μ＞1)⑤
∴④与⑤矛盾．
所以，不存在实数m使得l₁∥l₂．

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解析

1x0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点