设函数f=x2+aln有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．求实数a的取值范围；当a=38时，判断方程f=-14的实数根的个数

题文

设函数f（x）=x²+aln（x+1）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a=38时，判断方程f（x）=-14的实数根的个数，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，1+x＞0
由f（x）=x²+aln（x+1）可得f′（x）=2x+ax+1=2x2+2x+ax+1．
∵f（x）=ax³+x恰有有两个极值点，
∴方程f′（x）=0必有两个不等根，
即2x²+2x+a=0的两个均大于-1的不相等的实数根，其充要条件为△=4-8a＞02-2+a＞0，
解得0＜a＜12；
（2）由a=38可知x₁=-34，x₂=-14，从而知函数f（x）在（-1，-34）上单调递增，在（-34，-14）上单调递减，在（-14，+∞）上单调递增．
①由f（x）在（-1，-34]上连续、单调递增，且
f（-34）=（-34）²+38ln（-34+1）=916-34ln2＞-14，
以及f（-1+1e4）=（-1+1e4）²+38ln（1e4）=-12-2e4+1e8＜-14，故方程f（x）=-14
在（-1，-34]有且只有一个实根；
②由于f（x）在（-34，-14）上单调递减，在（-14，+∞）上单调递增，因此f（x）在（-34，+∞）上的最小值，
f（-14）=（-14）²+38ln（-14+1）=-116+38ln34＞-14，故方程f（x）=-14在（-34，+∞）没有实数根．
综上可知，方程f（x）=-14有且只有一个实数根．

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解析

ax+1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x2+aln（x+1）有.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点