如果关于x的方程|x|x+4=kx2有4个不同的实数解，则实数k的取值范围是A．(0，14)B．(14，1)C．D．(14，+∞)

题文

如果关于x的方程|x|x+4=kx2有4个不同的实数解，则实数k的取值范围是（ ）A．(0，14)B．(14，1)C．（1，+∞）D．(14，+∞) 题型：未知 难度：其他题型

答案

方程|x|x+4=kx2①
（1）由方程的形式可以看出，x=0恒为方程①的一个解
（2）当x＜0且x≠-2时方程①有解，则-xx+4=kx2即kx²+4kx+1=0
当k=0时，方程kx²+4kx+1=0无解；
当k≠0时，△=16k²-4k≥0即k＜0或k≥14时，方程kx²+4kx+1=0有解．
设方程kx²+4kx+1=0的两个根分别是x₁，x₂则x₁+x₂=-4，x₁x₂=1k．
当k＞14时，方程kx²+4kx+1=0有两个不等的负根；
当k=14时，方程kx²+4kx+1=0有两个相等的负根；
当k＜0时，方程kx²+4kx+1=0有一个负根．
（3）当x＞0时，方程①有解，则xx+4=kx2，kx²+4kx-1=0
当k=0时，方程kx²+4kx-1=0无解；
当k≠0时，△=16k²+4k≥0即k＞0或k≤-14时，方程kx²+4kx-1=0有解．
设方程kx²+4kx-1=0的两个根分别是x₃，x₄
∴x₃+x₄=-4，x₃x₄=-1k．
∴当k＞0时，方程kx²+4kx-1=0有一个正根，
当k≤-14时，方程kx²+4kx+1=0没有正根
综上可得，当k∈（14，+∞）时，方程|x|x+4=kx2有4个不同的实数解．

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解析

|x|x+4

考点

据考高分专家说，试题“如果关于x的方程|x|x+4=kx2有4.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点