已知函数f=x-2ax+1(a＞1，x∈R，x≠-1a)；试问：该函数的图象上是否存在不同的两点，它们的函数值相同，请说明理由；若函数F

题文

已知函数f（x）=x-2ax+1(a＞1，x∈R，x≠-1a)；
（1）试问：该函数的图象上是否存在不同的两点，它们的函数值相同，请说明理由；
（2）若函数F（x）=a^x+f（x），试问：方程F（x）=0有没有负根，请说明理由．
（3）记G（x）=|a^x-b|-b•a^x，（x∈R），若G（x）有最小值，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令f（x₁）=f（x₂）
x1-2ax1+1=x2-2ax2+1
化简得：（2a+1）（x₁-x₂）=0
因为a＞1．所以等式成立的唯一条件是：x₁=x₂．
∴函数的图象上不存在不同的两点，它们的函数值相同
（2）F（x）=a^x+f（x）=a^xx-2ax+1
a＞1，所以a^x在区间（-∞，0]上为增函数，而f（x）在区间（-∞，0]上也是增函数．
根据函数单调性的性质：在同一单调区间内增函数+增函数，还是增函数．
可得函数F（x）=a^x+f（x）在区间（-∞，0]上为增函数
又因为F（0）=-1
所以当x＜0时，f（x）＜-1
所以就不存在x＜0，使得f（x）=0．
即方程F（x）=0没有负根
（3）a^x＞0，
如果b＜0，则：g（x）=（1-b）a^x-b，为单调递增函数，无最小值．
如果b≥0，则：
当a^x＞b时，g（x）=（1-b）a^x-b，
当a^x＜b时，g（x）=-（1+b）a^x+b，
因为在两个开区间内，g（x）都是单调函数．
所以，要取得最小值的条件是，g（x）在（-∞，b]为减函数，在[b，+∞）为增函数．
所以：
1-b＞0
-（1+b）＜0
又∵b≥0
解得：0≤b＜1

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解析

x1-2ax1+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x-2ax+1(a＞1.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点