已知函数f=mx2+3x-9，m为常数．判断函数f是否存在零点，若存在，指出存在几个，并说明理由．

题文

已知函数f（x）=mx²+3（m-4）x-9，m为常数．判断函数f（x）是否存在零点，若存在，指出存在几个，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

若m=0，则函数f（x）=-12x-9，由f（x）=-12x-9=0，解得x=-34，此时只有一个零点．
若m≠0，对应方程为f（x）=mx²+3（m-4）x-9=0，
此时判别式△=9（m-4）²-4m×（-9）=9（m²-4m+16）=9（m-2）²+108＞0，
∴方程有两个不相等的实根，
即函数f（x）存在两个不同的零点．
综上：m=0时，函数f（x）只有一个零点．
m≠0时，函数f（x）存在两个不同的零点．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=mx2+3（m-4）x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点