设函数f=x2+bx+c，且f=-12．求证：函数f有两个零点．设x1、x2是函数f的两个零点，求|x1-x2|的取值范围．

题文

设函数f（x）=x²+bx+c，且f（1）=-12．
（1）求证：函数f（x）有两个零点．
（2）设x₁、x₂是函数f（x）的两个零点，求|x₁-x₂|的取值范围．
（3）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵f（1）=1+b+c=-12，∴b+c=-32．
∴c=-32-b．
∴f（x）=x²+bx+c=x²+bx-32-b，
判别式△=b²-4（-32-b）=b²+4b+6
=（b+2）²+2＞0恒成立，故函数f（x）有两个零点
（2）若x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则x₁，x₂是方程f（x）=0的两根
∴x₁+x₂=-b，x₁•x₂=-32-b
∴|x₁-x₂|=

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x2+bx+c，且f（1.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点