已知a，b为常数，a≠0，f=ax2+bx，f=0，方程f=x有二个相等的实数解．求f的解析式．当x∈[1，2]时，求f（x

题文

已知a，b为常数，a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有二个相等的实数解．
（1）求f（x）的解析式．
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（2）=0，可得 4a+2b=0①．
方程 f（x）=x 即 ax²+bx=x，即 ax²+（b-1）x=0有二个相等的实数解，且a≠0．
∴△=（b-1）²-4a=0 ②．
由①、②解得b=1，a=-12，
∴f（x）=-12x²+x．
（2）由（1）知 f（x）=-12x²+x=-12（x-1）²+12，
对称轴x=1开口向下，在[1，2]上是减函数，故当x=1时，y=12为最大值； 当x=2时，y=0为最小值．
故当x∈[1，2]时，f（x）的值域为[0，12]．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知a，b为常数，a≠0，f（x）=ax.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点