已知f是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]，f=x，那么在区间[-1，3]内，关于x的方程4f=x+m有四个不同的实根，则

题文

已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]，f（x）=x，那么在区间[-1，3]内，关于x的方程4f（x）=x+m（其中m为实常数）有四个不同的实根，则m的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为关于x的方程4f（x）=x+m有4个不同的根，
就是函数y=f（x）的图象与y=14（x+m）的图象有4个不同的交点，
f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，
所以可以得到函数f（x）的图象
又因为y=14（x+m）是一组斜率为14的平行直线系，
在同一坐标系内画出它们的图象如图，
由图得y=14（x+m）在过点A（3，1）的直线y=14（x+1）和y=14x中间时符合要求，
所以m的取值范围是0＜k≤1．
故答案为：（0，1]．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点