已知二次函数y=g的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g在x=-1处取得极小值m-1．设f(x)=g(x)x．若曲线y=f

题文

已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=-1处取得极小值m-1（m≠0）．设f(x)=g(x)x．
（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为2，求m的值；
（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）-kx存在零点，并求出零点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题可设g（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），则g'（x）=2a（x+1）=2ax+2a；
又g'（x）的图象与直线y=2x平行∴2a=2∴a=1
∴g（x）=（x+1）²+m-1=x²+2x+m，f(x)=g(x)x=x+mx+2，
设P（x_o，y_o），则|PQ|2=x20+(y0-2)2=x20+(x0+mx0)2=2x20+m2x20+2m≥2

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解析

g(x)x

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点