若关于x的方程ax+1x2=3的正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为A．a≤0B．a≤1C．a≤1或a=2D．a≤0或a=2

题文

若关于x的方程ax+1x2=3的正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（ ）A．a≤0B．a≤1C．a≤1或a=2D．a≤0或a=2 题型：未知 难度：其他题型

答案

由函数解析式可得：x≠0，
如果关于x的方程 ax+1x2=3有且仅有一个正实数解，即方程ax³-3x²+1=0有且仅有一个正实数解，
构造函数f（x）=ax³-3x²+1，则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．
又∵f'（x）=3x（ax-2）
①当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解 3满足要求；
②当a＞0时，则得f（x）在（-∞，0）和（ 2a，+∞）上单调递增，在（0，2a ）上单调递减，
f（0）=1，知若要满足条件只有x=2a时，f（x）取到极小值0，x=2a入原方程得到正数解a=2，满足要求；
③当a＜0时，同理f（x）在（-∞，2a）和（0，+∞）上单调递减，在（ 2a，0）上单调递增，
函数的极大值f（0）=1＞0，f（x）=0有1正根，a＜0满足条件
综上可得a≤0，a=2
故选：D

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解析

1x2

考点

据考高分专家说，试题“若关于x的方程ax+1x2=3的正实数解.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点