已知e是自然对数的底，若函数f=|ex-bx|有且只有一个零点，则实数b的取值范围是______．

题文

已知e是自然对数的底，若函数f（x）=|e^x-bx|有且只有一个零点，则实数b的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一个解，即方程e^x-bx=0有且只有一个解．
因为x=0不满足方程，所以方程同解于b=exx．
令h（x）=exx，由h′（x）=(x-1)exx2=0得x=1．
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）∈（e，+∞）；
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）∈（e，+∞）；
所以当x∈（0，+∞）时，方程b=exx有且只有一解等价于b=e．
当x∈（-∞，0）时，h（x）单调递减，且h（x）∈（-∞，0），
从而方程b=exx有且只有一解等价于b∈（-∞，0）．
综上所述，b的取值范围为（-∞，0）∪{e}．

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解析

exx

考点

据考高分专家说，试题“已知e是自然对数的底，若函数f（x）=|.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点