题文
（本小题满分14分）已知函数
对于任意
（
），都有式子
成立（其中
为常数）．
（Ⅰ）求函数
的解析式；
（Ⅱ）利用函数
构造一个数列，方法如下：
对于给定的定义域中的
，令
，
，…，
，…
在上述构造过程中，如果
（
=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果
不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.
（ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求
的取值范围；
（ⅱ）是否存在一个实数
，使得取定义域中的任一值作为
，都可用上述方法构造出一个无穷数列
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；
（ⅲ）当
时，若
，求数列
的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型
答案
点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习
解析
解：（Ⅰ）令
（
），则
，而
，
故
=
，
∴
=
（
）． ………………………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意，只需当
时，方程
有解， ………………4分
亦即方程
有不等于
的解．
将
代入方程左边，左边为1，与右边不相等．故方程不可能有解
．
………………5分
由 △=
，得
或
，
即实数a的取值范围是
． …………………………7分
（ⅱ）假设存在一个实数
，使得取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列
，那么根据题意可知，
=
在R中无解，
……………8分
亦即当
时，方程
无实数解．
由于
不是方程
的解，
所以对于任意x∈R，方程
无实数解，
因此
解得
．
∴
即为所求
的值． ……………………………………11分
（ⅲ）当
时，
，所以，
．
两边取倒数，得
，即
．
所以数列{
}是首项为
，公差
的等差数列．
故
，所以，
，
即数列
的通项公式为
． ……………………………………14分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数对于任意（）.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
