设集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R}.若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；若对于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立，

题文

设集合A={x｜4^x–2^x+2+a=0,x∈R}.
（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；
（2）若对于任意a∈B，不等式x²–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) B={a｜a≤0或a=4} (2)

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解析

(1)令2^x=t(t＞0)，设f(t)=t²–4t+a.
由f(t)=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有
①f(t)=0有两等根时，Δ=0

16–4a=0

a=4
验证:t²–4t+4=0

t=2∈(0,+∞)，这时x=1
②f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)＜0

a＜0
③若f(0)=0，则a=0，此时4^x–4·2^x=0

2^x=0（舍去），或2^x=4,∴x=2，即A中只有一个元素
综上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}
（2）要使原不等式对任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立. 即g(a)=(x–2)a–(x²–6x)＞0恒成立. 只须


＜x≤2

考点

据考高分专家说，试题“设集合A={x｜4x–2x+2+a=0,.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点