题文
求所有的正整数
，使得
是一个完全平方数，且除了2或3以外，
没有其他的质因数. 题型：未知 难度：其他题型
答案
符合条件的值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.
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解析
设
，其中
，则
.
依题意，可设
其中
均为非负整数，于是
（1）…………………………5分
如果
，则
，这是不可能的.所以
中至少有一个大于0，于是
和
均为偶数，从而
均为正整数.
若
，则
，显然只可能
（否则左右两边被4除的余数不相同），此时
，显然只能是
，此时
.
…………………………10分
若
，则
是4的倍数，从而
也是4的倍数，故
，此时
（2）
显然
中至少有一个应为0（否则（2）式左右两边奇偶性不相同）.
1）当
，即
时，
（3）
此时
（否则等式左右两边奇偶性不相同），故
.
若
，则（3）式左边是9的倍数，而右边为3，矛盾，故只可能
，从而（3）式即
，它只有两组解
和
即
和
此时，对应的
值分别为24和96，相应的
值分别为864和10368. …………………15分
2）当
，即
时，
（4）
此时显然
（否则等式左右两边奇偶性不相同），故
.
若
，则（4）式左边是9的倍数，而右边是3，无解.故
.
若
，则
，只可能
，此时
.
若
，则（4）式即
，它只有两组解
和
即
和
此时，对应的
值分别为12和36，相应的
值分别为288和1728.
因此，符合条件的
值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.
…………………………20分
考点
据考高分专家说，试题“ 求所有的正整数，使得是一个完全平方数，.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
