已知函数当时，求曲线处的切线方程；设的两个极值点，的一个零点，且证明：存在实数按照某种顺序排列后构成等差数列，并求．

题文

（本小题满分13分）
已知函数


（1）当

时，求曲线

处的切线方程；
（2）设

的两个极值点，

的一个零点，且

证明：存在实数

按照某种顺序排列后构成等差数列，并求

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）y="x" - 2
（2）

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解析

（本小题满分13分）
（1）解：当a=1,b=2时，
因为f’（x）=（x-1）（3x-5）     …………．．2分
故

               ……………．3分
f（2）="0,      "

           ……………．4分
所以f（x）在点（2,0）处的切线方程为y="x" - 2     ………．．5分
（2）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－

），……………．7分
由于a
．
所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝

      ………．．9分
不妨设x1＝a，x2＝

，
因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，
故x3＝b．                                      ……………．10分
又因为

－a＝2（b－

），
x4＝

（a＋

）＝

，
所以a，

，

，b依次成等差数列，         
所以存在实数x4满足题意，且x4＝

．……………………．13分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分13分）已知函数（1）当时，.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点