题文
（本小题满分12分）设
，
．
（1）当
时，求曲线
在
处的切线方程；
（2）如果存在
，使得
成立，求满足上述条件的最大整数
；
（3）如果对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）4
（3）
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解析
解：（1）当时，
，
，
，
，
所以曲线
在
处的切线方程为
；
2分
（2）存在
，使得
成立
等价于：
，
考察
，
，
递减
极（最）小值
递增
由上表可知：
，
，
所以满足条件的最大整数
；
6分
（3）对任意的
，都有
成立
等价于：在区间
上，函数
的最小值不小于
的最大值，
由（2）知，在区间
上，
的最大值为
。
，下证当
时，在区间
上，函数
恒成立。
当
且
时，
，
记
，
，
当
，
；当
，
，
所以函数
在区间
上递减，在区间
上递增，
，即
，
所以当
且
时，
成立，
即对任意
，都有
。
12分
（3）另解：当
时，
恒成立
等价于
恒成立，
记
，
，
。
记
，
，由于
，
, 所以
在
上递减，
当
时，
，
时，
，
即函数
在区间
上递增，在区间
上递减，
所以
，所以
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）设，．（1）当时，求.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
