题文
（满分16分）记函数f(x)的定义域为D，若存在
，使
成立，则称以
为坐标的点为函数
图象上的不动点。
（1）若函数
的图象上有两个关于原点对称的不动点，求
应满足的条件；
（2）下述结论“若定义在Ｒ上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明，并举出一例；若不正确，请举出一反例说明 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）证明略
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解析
解：（1）由
， …………………………………………2分
整理得
……………………………………4分
由题意知方程（*）有两个互为相反数的根，所以
即
………6分
，
，……………………………………………………8分
故
应满足
且
……………………………………………………10分
（2）结论正确。……………………………………………………12分
证明：
为奇函数，
，取
，得
，
即（0,0）为函数的一个不动点，设函数
除0以外还有不动点
，
则
又
，故
也为函数的不动点。…………………14分
综上，若定义在R上的奇函数
图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个。
例如：
。…………………………………………………16分
考点
据考高分专家说，试题“（满分16分）记函数f(x)的定义域为D.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
