若关于x的方程在R上都有解，则的最小值为：A．256B． 128C． 64 D．32

题文

若关于x的方程

在R上都有解，则

 的最小值为：（   ）A．256B． 128C． 64 D．32 题型：未知 难度：其他题型

答案

C

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解析

专题：计算题．
分析：根据二次方程根的个数与判别式有关，令两个方程的判别式都大于等于0，且注意被开方数大于等于0，列出不等式组，画出可行域；利用同底数的幂的运算法则化简要求的式子；利用线性规划求出指数的最小值，从而求出式子的最小值．
解答：解：∵

x²+

x-

b+3=0在R上有解
∴△₁=2a-4×

×(-

b+3)≥0
即2a+b≥6且a≥0①
∵

x²+

x-a+6=0
∴△₂=2b-4×

×(-a+6)≥0
即a+2b≥6且b≥0②作出①②对应的可行域



∵2^3a?2^b=2^3a+b，令z=3a+b变形为b=-3a+z，作出相应的直线，结合图象，当直线移至（0，6）时直线的纵截距最小，此时z最小为6
∴2^3a?2^b=2^3a+b≥2⁶=64
故答案为：64.应选C
点评：本题考查二次方程的根的个数取决于判别式、开偶次方根的被开方数大于等于0、不等式组表示的平面区域、利用线性规划求函数的最值、同底数的幂的运算法则．

考点

据考高分专家说，试题“若关于x的方程在R上都有解，则的最小值为.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点